Corsa sotto l’acquazzone

Quante volte ti è capitato di trovarti per strada senza ombrello mentre scoppia un acquazzone? Ti sei mai chiesto a che velocità conviene correre per bagnarsi il meno possibile?
Da un lato se cammini l’acqua ti colpisce solo in testa, per cui prendi meno goccie, se corri invece ti si bagna tutto il corpo, d’altra parte correre riduce il tempo in cui ti trovi sotto la pioggia…
Cosa conviene fare?
Con qualche semplice calcolo di fisica possiamo rispondere a questa domanda:

Volgiamo calcolare quanto si bagna un corpo che si muove con velocità v sotto la pioggia.
Chiamiamo \Phi il flusso di acqua che cade dal cielo, t il tempo che restiamo in balia della pioggia e \Sigma la superficie del nostro corpo esposta alle goccie d’acqua, il volume d’acqua che ci colpirà durante l’attraversata sarà:
 B = \Phi\Sigma t
Il tempo t che restiamo sotto la pioggia possiamo calcolarlo con la legge del moto rettilineo uniforme:

t = \frac d v
Dove d è la distanza che ci separa dalla meta. La superficie esposta del nostro corpo dipende dall’angolo con cui le goccie
cadono:
\Sigma = S_c\sin\theta + S_t\cos\theta
Come si vede dalla figura seguente:

Pioggia

Dove S_c è la superficie della parte frontale del nostro corpo, S_t è la superficie della testa, vista dall’alto,
approssimiamo S_c \gg S_t.

Anche il flusso d’acqua tuttavia ha una dipendenza dalla nostra velocità: infatti se immaginiamo di volare verso la pioggia in alto,  la quantità d’acqua che ci urterà a parità di tempo sarà maggiore rispetto ad un osservatore fermo. Quindi esplicitiamo meglio il flusso di pioggia in funzione della velocità delle goccioline:

\Phi = n \frac{4}{3}\pi r^3 v_p
Dove n è la densità delle goccie di pioggia per unità di volume, r è il raggio della goccia di pioggia e vp è la velocità di caduta delle goccioline, se volgiamo il nuovo flusso di pioggia quando corriamo sotto la pioggia, otteniamo:
\Phi' = \Phi \frac {v'}{v_p}
Dove v’ è la velocità della pioggia nel nostro sistema di riferimento. Siccome non siamo in uno space shuttle per trovare v’ bastano
le trasformazioni di Galileo:
v' = \sqrt{v^2 + v_p^2}
\Phi' = \Phi\sqrt{1 + \frac {v^2}{v_p^2}}

Unendo tutto otteniamo:
B = \Phi\sqrt {1 + \frac{v^2}{v_p^2}}\frac d v \left(S_c\sin\theta + S_t\cos\theta\right)
Esplicitiamo la dipendenza di \theta dalla velocità v della persona:
\sin\theta = \frac{v}{\sqrt{v^2 + v_p^2}} \qquad \cos\theta = \frac{v_p}{\sqrt{v^2 + v_p^2}}

B = \Phi\sqrt{1 + \frac{v^2}{v_p^2}}\frac d v \frac{S_cv + S_t v_p}{\sqrt{v^2 + v_p^2}}

L’unico termine incognito è la velocità della goccia di pioggia. Questa in caduta libera nell’aria sarà soggetta a tre forze principali,
la forza peso che la spinge verso il basso, la forza di attrito viscoso che la rallenta e la forza di archimede. Il rapporto d’intensità
tra forza peso e forza di archimede è pari al rapporto tra densità dell’acqua e densità dell’aria, che per temperature tra zero e venti gradi
(temperature tipiche degli strati più bassi dell’atmosfera durante un acquazzone) è circa 1 su 1000, possiamo quindi tranquillamente ignorare
il contributo apportato dalla forza di archimende.

La velocità di regime si ottiene quindi uguagliando forza di attrito viscoso con la forza peso, supponendo laminare il moto delle goccie di pioggia nell’aria:
6\pi\eta r v_p = mg = \frac 4 3 \pi r^3 \rho_{H_2O}g
Da cui otteniamo:
v_p = \frac 2 9 \frac {\rho r^2 g}{\eta}
Il raggio di una goccia di pioggia dipende dal tipo di temporale, è varia in tra 0.1 mm (pioggerella lieve) e i 2 mm (Acquazzone pesante).

Tornando all’espressione per B (volume d’acqua che ci colpisce durante la nostra “passeggiata”), è conveniente esprimere tutto con il rapporto tra v e vp:
B = \Phi d \frac {v_p}{vv_p}\left(S_c\frac {v}{v_p} + S_t\right)
Definendo la variabile x
x = \frac {v}{v_p}

Si ottiene:
B = \frac{\Phi d}{v_p}\;\frac{S_c x + S_t}{x}
B = \frac{9\Phi d\eta}{2\rho_{H_2O} r^2 g}\;\frac{S_c x + S_t}{x}
Per x>0 questa è una curva sempre positiva, monotona decrescente, non presenta minimi, come si può facilmente verificare facendone la derivata:
\frac{\partial B}{\partial t} = -\frac{9\Phi d\eta}{2\rho_{H_2O}r^2 g}\;\frac{S_t}{x^2}
Che non si annulla per nessun valore di x.

 

Mannaggia, non esiste una velocità alla quale conviene correre per bagnarsi il meno possibile,
tuttavia poiché la curva è monotona decrescente, più si aumenta la velocità, meno ci si bagna. Esiste però un valore asintotico, quindi
un valore minimo di acqua, che anche correndo alla velocità della luce, ci prendiamo ugualmente:
\lim_{x\rightarrow \infty}B(x) = \frac{9\Phi d \eta}{2\rho_{H_2O}r^2g}S_c = B_{min}
Definendo il fattore di inzuppamento di un temporale come la quantità I = B/d, possiamo classificare i temporali in base a quanti
litri d’acqua ci colpiscono come minimo per ogni metro che percorriamo!
I = \frac{B_{min}}{d}= \frac{9\Phi \eta}{2\rho_{H_2O}r^2g}S_c
Considerando una persona di statura media (alto 1.8 metri) e in sovrappeso (largo 0.5 metri), otteniamo un ordine di grandezza ragionevole
per S_c:
S_c \approx 0.9 m^2
Ricordiamo inoltre che il flusso di pioggia \Phi dipende dalle dimensioni delle goccie e dalla loro rapidità:
\Phi = n\frac{4}{3}\pi r^3 v_p
Esplicitando anche la dipendenza di vp dal raggio vediamo che \Phi ed r non sono grandezze indipendenti:
\Phi = n\frac{8 \pi\rho g r^5}{27\eta}

Non sappiamo dire se n ed r siano grandezze indipendenti, probabilmente non lo sono, tuttavia per fare un ragionamento per ordini di grandezze supponiamo che n (numero delle goccie di pioggia per unità di volume) sia costante per i vari acquazzoni:
\Phi \propto r^5

Per fare un ragionamento usando gli ordini di grandezza supponiamo che tutto l’aumento di \Phi sia dovuto ad aumento di r, da questo
possiamo, fissati \Phi ed r per la pioggerellina lieve, ricavare tutti i valori di $r$ per gli altri tipi di pioggia noto \Phi.
In seguito è riportata una tabella con i valori del fattore d’inzuppamento per le varie tipologie di pioggia:

tabella

Vediamo come varia il fattore di inzuppamento se consideriamo invece velocità umane, per questo viene riportato un grafico del
fattore di inzuppamento al variare della nostra velocità, usando i dati relativi alle diverse tipologie di temporale.

DifferentiPioggie

Esiste tuttavia come si vede una velocità a cui conviene correre indipendentemente dal tipo di nubifragio, infatti come mostrato nei grafici rinormalizzati, hanno tutti la stessa forma funzionale, e differiscono praticamente solo per costanti moltiplicative.

Rinormalizzato

Insomma, conviene sempre correre alla velocità di 4-5 metri al secondo (intorno ai 20 km/h), per ridurre l’inzuppata!

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