Il gioco del raddoppio

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Chi non ha mai pensato di usare il “trucco” del raddoppio per guadagnare soldi giocando d’azzardo?
Un metodo apparentemente infallibile per avere la certezza di vincere soldi scommettendo sulla roulette, o sul lancio di una monetina.

La tecnica è molto semplice. Si parte scommettendo una cifra bassa, e se perdiamo raddoppiamo la scommessa, ripendendo la procedura fin quando non vinciamo. Vediamo un esempio pratico:

  • Scommettiamo 1 €, se perdiamo
  • Scommettiamo altri 2 €: Se vinciamo abbiamo guadagnato in tutto 1 € (2 € della scommessa meno 1 € che abbiamo perso alla mano precedente). Se perdiamo
  • Scommettiamo altri 4 €: Se vinciamo abbiamo vinto in tutto sempre 1 € (4 della scommessa, 2 persi alla scorsa mano e 1 perso nella prima mano). Se perdiamo si continua in questo modo (scommettendo 8 €).
  • Si continua a scommettere fin quando non si vince.

 

Siccome la probabilità di perdere più di 4 o 5 volte di fila diventa esponenzialmente piccola, con un budget non eccessivamente grande abbiamo pressoché la certezza di vincere la scommessa finale;

Armati di questa tecnica siete pronti a partire per Las Vegas a sbancare i più famosi casinò del mondo?

100 dollar bills growing in grass
Be calma… andiamoci piano, è vero che il gioco sembra funzionare, ma oggi vi dimostrerò che, in realtà, si tratta di una vera e propria fregatura.

La magagna si nasconde quando vogliamo provare a mettere in gioco cifre un po’ più grandi di un euro. Immaginiamo per esempio di avere 1024 € e volerli raddoppiare sfruttando questo giochino, scommettendo sul lancio di una monetina.

Se giocassimo tutti i mille euro in un unico colpo avremo una probabilità del 50 % di vincere. Cosa succede se mettiamo in pratica la strategia del raddoppio?
Possiamo pensare di suddividere i nostri 1024 \euro in tante piccole scommesse da 1 \euro.
Ciascuna scommessa ha una probabilità bassissima di essere persa, infatti prima di raggiungere il nostro budget dobbiamo raddoppiare ben 10 volte (2^{10} = 1024), e ciascun lancio ha probabilità \frac 1 2 di perdere, la probabilità di perdere la scommessa è quella di perdere 10 volte consecutive:

\displaystyle  p_{lose} = \left(\frac 1 2\right)^{10} = 9.765 \cdot 10^{-3}

Meno dello 0.2 %, decisamente piccola. Tuttavia se vogliamo vincere 1024 € dobbiamo ripetere la scommessa per 1024 volte. Il numero di volte medio in cui perderemo la scommessa è dato dal numero di volte che scommettiamo per la probabilità di perdere la singola scommessa:

\displaystyle  p_{lose}\cdot 1024 = 1
Guardate un po’, in media si perde 1 volta… ma perdere una volta basta per perdere tutti i nostri soldi!
Quante sono le probabilità che questo avvenga? Be è la certezza, meno la probabilità di vincere 1024 volte di fila!


\displaystyle  P_{lose} = 1 - (1 - p_{lose})^{1024} = 63.2 \%

Addirittura maggiore del 50%, insomma un disastro.

Messa così sembrerebbe che non solo il raddoppio non è vantaggioso, ma che è addirittura sconveniente in termini probabilistici. C’è però un rovescio della medaglia. Delle 1024 scommesse da fare, è improbabile che la sconfitta arrivi alla prima. Così, prima di perdere i 1024 €, risulta che ne abbiamo guadagnati alcuni dalle scommesse precedenti. Riassumendo: se scommettiamo direttamente i 1024 €, perdiamo col 50 % delle probabilità, e non rimaniamo con nulla in mano, se scommettiamo con il raddoppio, perdiamo col 63 % di probabilità, ma ci rimangono un po’ di soldi delle vincite precedenti.

Per calcolare con quanti soldi rimaniamo in mano mediamente basta trovare dopo quante scommesse si perde mediamente.

\displaystyle  p_{lose}\sum_{n=1}^{1024}n = p_{lose} \frac{1024\cdot 1025}{2} = 512.5
Quindi ci troviamo mediamente con 512 € in tasca.

Insomma stiamo gicando ad un gioco in cui se vinciamo raddoppiamo, se perdiamo dimezziamo i nostri soldi. Qual è la probabilità di sconfitta onesta per un gioco di questo tipo? Be in una vittoria vinciamo tanto quanto perdiamo in due sconfitte, quindi le probabilità devono rispecchiare questa situazione:
\displaystyle  p_{lose} = 2 p_{win} \qquad p_{lose} + p_{win} = 1
\displaystyle  p_{lose} = \frac 2 3 = 66.7 \%

Molto simile a quella ottenuta (non sono identiche perché il conto non è stato fatto rigorosamente, per avere due giochi equivalenti bisognerebbe calcolare questa p_{lose} per tutti i possibili valori del budget residuo, e poi mediarla pesandola sulle probabilità di ottenere quel determinato budget residuo, in questo caso abbiamo approssimato il valore medio come quello certo).

Per evitare il problema del budget residuo potremmo ridefinire il gioco in questo modo: ogni volta scommettiamo il budget totale per 2^{-10}, e il budget aumenta ogni volta che vinciamo una scommessa: così la prima volta scommettiamo 1 €, la seconda di (1 + 9.8\cdot 10^{-4}) €, la terza di (1 + 1.9\cdot 10^{-3}) €, e così via in modo da non avere un budget residuo quando perdiamo la scommessa (si lo so che non esistono i millessimi di euro in monete).

La probabilità di vittoria rimane esattamente quella precedente, ossia un misero 36.8 %, ma ora se perdiamo non abbiamo più nessun budget residuo.

Sembrerebbe una fregatura peggiore di prima, tuttavia in questo caso cambia l’ammontare della nostra vittoria totale, perché le nostre scommesse aumentano di valore ogni giocata.
Il nuovo budget totale, a fronte di una vincità si può calcolare essere di:

\displaystyle  B = 2782
Se vinciamo per 1024 volte di fila guadagnamo 1755 €, mentre se perdiamo la scommessa una sola volta abbiamo perso 1024 €(con un budget residuo di poco più di un euro).
Se andiamo a calcolare il guadagno stimato dal giocare a questo gioco otteniamo:
\displaystyle  B_{mean} = 1755 \cdot 0.368 - 1024\cdot 0.632 = -1.16
Che corrisponde proprio al contributo residuo medio che rimane dal gico.

Morale della favola, il raddoppio è una buona tecnica se vogliamo guadagnare pochi spicci, a fronte di budget disponibili molto elevati, ma perde completamente la sua efficacia quando proviamo a cumulare i guadagni di tante piccole vincite.
Può essere usato, ma con estrema moderazione, perché basta che la fortuna ci dice male una sola volta per perdere tutti i nostri risparmi.

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