Appare un caldo torrido selvatico

Estate usa afa. È superefficacie. Uomo diventa pigro. L’uomo usa ventilatore.
K.O. in un attacco. Estate è esausto.

 

Non tutti possiamo richiamare un lapras per rinfrescarci

Non tutti possiamo richiamare un Lapras per rinfrescarci

Il ventilatore è uno dei più semplici oggetti che abbiamo per sconfiggere il caldo torrido di fine Luglio. Un’arma efficacie… con dei difetti.

Un pizzico di magia della fisica può aiutarci a capire i suoi limiti, a come sfruttarlo al meglio per evitare di soccombere al caldo nemico.

Descriviamo in che modo il ventilatore sposta l’aria.

Il ventilatore può essere schematizzato come una forza che agisce impulsivamente sulle molecole d’aria, imprimendole un impulso F_0 istantaneo.
L’energia potenziale associata alla spinta del ventilatore è:

  \displaystyle  V(x, t) = -xF_0\delta(t)

Infatti la forza che il ventilatore imprime sulle molecole è:

  \displaystyle  F(t) = -\frac{dV}{dx} = F_0\delta(t)

L’energia totale del gas diventa:

  \displaystyle  E = E_0 - x F_0 \delta(t)

Dove il termine E_0 è l’energia del sistema a riposo.
Possiamo trattare la forza impulsiva come una perturbazione rispetto all’energia totale a riposo del sistema, suddividendo la hamiltoniana in due termini:

  \displaystyle  H = H_0 - x F_0 \delta(t)

Siamo interessati a capire quale sarà la velocità della particella ad una certa distanza x dal ventilatore.
Vogliamo studiare come cambia la velocità media dell’aria in presenza della perturbazione.
Usiamo la teoria della risposta lineare.

  \displaystyle  \left< v(t)\right> = \int_{-\infty}^t \chi(t - t')\delta(t')dt'

La media termica della velocità in presenza della perturbazione è pari alla convoluzione della funzione \chi (detta funzione di risposta) e dell’andamento in tempo della perturbazione (la delta di Dirac). Possiamo riscrivere la relazione sfruttando le proprietà della delta di Dirac.

  \displaystyle  \left<v(t)\right> = \chi(t)

La formula di Kubo classica ci permette di calcolare la funzione di risposta.

  \displaystyle  \chi_{AB}(t) = \frac{1}{k_bT} \left< \frac{dA}{dt} B\right>_0

Dove A è la perturbazione (il ventilatore) e B è la grandezza che vogliamo studiare:

  \displaystyle  A = xF_0 \qquad B = v(t)

  \displaystyle  \frac{dA}{dt} = F_0 v

Sostituiamo questi risultati nella formula di Kubo.

  \displaystyle  \left<v(t)\right> = \frac{F_0}{k_b T} \left<v(t)v(0)\right>_0

La velocità media dell’aria dopo un tempo t è proporzionale alla funzione di autocorrelazione della velocità in assenza di perturbazione.

Dobbiamo calcolare la funzione di autocorrelazione della velocità. Il modello di Langevin per l’aria descrive correttamente il moto Browniano.
Ciascuna molecola di aria rispetta l’equazione di Langevin (il puntino indica la derivata temporale):

  \displaystyle  m\dot v = -m\xi v + R(t)

Questa equazione è la legge della dinamica di Newton: a sinistra c’è la massa per l’accelerazione (m\dot v), a destra le forze che agiscono sulle particelle; una forza di tipo viscoso (-m\xi v) e una forza browniana R(t), che descrive gli urti casuali con le altre molecole.
L’aria non è un gas denso, possiamo supporre il termine di viscosità \xi indipendente dal tempo (gli urti non sono correlati tra loro) e la R(t) delta correlata:

  \displaystyle  \left<R(t)x(t_1)\right> = \left<R(t)v(t_1)\right> = 0

  \displaystyle  \left<R(t_1)R(t_2)\right> = 2\pi R_0\delta(t_2 - t_1)

Risolviamo l’equazione di Langevin utilizzando il metodo della variazione delle costanti.
Scegliamo una soluzione del tipo:

  \displaystyle  v(t) = u(t) e^{-\Gamma t}

  \displaystyle  \dot v(t) = \dot u(t)e^{-\Gamma t} - \Gamma u(t)e^{-\Gamma t}

Sostituendo nell’equazione di Langevin otteniamo:

  \displaystyle  m \dot u(t) e^{-\Gamma t} - m\Gamma u(t) e^{-\Gamma t} = -m \xi u(t)e^{-\Gamma t} + R(t)

Da questa equazione riconosciamo che

  \displaystyle  \Gamma = \xi

  \displaystyle  \dot u(t) e^{-\xi t} = \frac{1}{m}R(t)

  \displaystyle  u(t) = u(0) + \frac{1}{m}\int_0^t R(t') e^{\xi t'}dt'

Da cui otteniamo la soluzione:

  \displaystyle  v(t) = u(0)e^{-\xi t} + \frac{1}{m}\int_0^t R(t')e^{-\xi(t - t')} \qquad v(0) = u(0)

Ora possiamo ricavare la funzione di autocorrelazione della velocità

  \displaystyle  \left<v(t)v(0)\right> = \left<v(0)v(0)\right>e^{-\xi t} + \frac{1}{m}\int_0^t\left<R(t') v(0)\right>e^{-\xi(t - t')}

Il secondo termine è nullo (le forze browniane non sono correlate alla velocità delle molecole).

  \displaystyle  \left<v(t)v(0)\right> = \left<v_x^2\right>e^{-\xi t}

Il valore atteso della velocità lungo la direzione in cui spara il condizionatore può essere calcolato con il teorema di equipartizione dell’energia:

  \displaystyle  \left<v_x^2\right> = \frac 1 3 \left<v^2\right> \qquad \frac 1 2 m \left<v^2\right> = \frac 1 2 k_b T

Da cui:

  \displaystyle  \left<v_x^2\right> = \frac{k_b T}{3 m}

  \displaystyle  \chi(t) = \left<v(t)v(0)\right> = \frac{k_b T}{3m} e^{-\xi t}

Ora conosciamo la funzione di risposta del sistema:

  \displaystyle  \left<\Delta v(t)\right> = \frac{F_0}{3m} e^{-\xi t}

Questa relazione ci dice la velocità media delle molecole al tempo t dopo aver colpito le pale del ventilatore.
In realtà siamo interessati a sapere la velocità dell’aria in funzione della distanza dal ventilatore.
Calcoliamo a che distanza arriva la molecola dopo un tempo t.

  \displaystyle  x(t) = x(0) + \int_0^t v(t')dt'

  \displaystyle  x(t) = x(0) + \int_0^t \frac{F_0}{3m} e^{-\xi t} = x(0) + \frac{F_0}{3m\xi} (1 - e^{-\xi t})

Mettiamoci nel sistema di riferimento x(0) = 0.

  \displaystyle  x(t) = \frac{F_0}{3m\xi} (1 - e^{-\xi t})

Questo ci dice che esiste una distanza massima raggiunta dall’aria messa in moto dalle pale:

  \displaystyle  \lim_{t\rightarrow\infty}x(t) = \frac{F_0}{3m\xi}

Eccolo qui il difetto! Esiste una distanza dal ventilatore per cui l’aria si ferma del tutto. Se ci troviamo più lontano (bastano in genere di pochi metri) diventa completamente inutile.

Se ci troviamo più vicino?

  \displaystyle  \frac{3m x}{F_0} = 1 - e^{-\xi t}

  \displaystyle  e^{-\xi t} = 1 - \frac{3mx}{F_0}

  \displaystyle  t = -\frac 1 \xi \ln\left(1 - \frac{3mx}{F_0}\right)

  \displaystyle  \left<\Delta v(x)\right> = \frac{F_0}{3m}\left(1 - \frac{3mx}{F_0}\right)

  \displaystyle  \left<\Delta v(x)\right> = \frac{F_0}{3m} - x\xi

Questa è la velocità dell’aria in funzione della distanza.
È zero per distanze maggiori di F_0/3m\xi, decresce linearmente per distanze minori.

Oltre quella distanza non ci raggiunge neanche il più flebile filo d’aria. Il raggio di azione di un ventilatore è molto limitato, inoltre la sua efficacia diminuisce bruscamente all’aumentare della distanza.

Se vogliamo usarlo in una stanza grande non abbiamo scampo:
Uomo usa ventilatore, ventilatore non ha effetto su afa, uomo è esausto.
Afa vince la battaglia.

Per ricevere un po' di arietta fresca dal ventilatore è necessario stargli più vicino del suo range massimo.

Per ricevere un po’ di arietta fresca dal ventilatore è necessario stargli più vicino del suo range massimo.