La democrazia? Questione di matematica

Democrazia: La miglore forma di governo? Per rispondere a questa domanda non useremo la filosofia, la politica o la giurisprudenza, useremo l’unica disciplina che è “senza macula d’errore e certissima per se” (cit. Dante Alighieri): la matematica.

Supponiamo che l’elettorato sia composto da N individui che ragionano in modo del tutto indipendente. Devono scegliere un leader tra due possibilità.

Ciascuno di loro ha una probabilità di fare la scelta migliore (ammesso che esista) poco maggiore del 50 % (ad esempio il 50 + \varepsilon %). Qual è la probabilità che la maggioranza della popolazione scelga il miglior leader?

Se la vostra risposta intuitiva è stata 50 + \varepsilon % avete sbagliato di grosso. Infatti si può dimostrare con un facile calcolo combinatorio che la probabilità di avere esito positivo alle elezioni cresce vertiginosamente all’aumentare degli elettori.
Anche se la probabilità \varepsilon di riconoscere la scelta migliore da quella sbagliata per ciascun elettore fosse bassissima, ad esempio dello 0.05 %, il numero di elettori necessari ad avere più del 99.9 % di probabilità che l’esisto della votazione vada a buon fine è di 25 milioni.

  \displaystyle  2\varepsilon \sqrt N > 5\qquad \Longrightarrow \qquad N > \frac{6.25}{\varepsilon^2}

In Italia siamo circa 60 milioni, se tutti ragionassimo con la propria testa, avremmo la certezza assoluta di eleggere sempre il miglior leader possibile.

Se ammettiamo tuttavia che la classe dirigente italiana non è poi la migliore possibile ci deve essere un problema da qualche parte. Nel conto precedente abbiamo supposto che i voti degli elettori siano tutti indipendenti tra loro.
Nella realtà questo non è vero, il voto di ciascun individuo è fortemente influenzato dall’ambiente che lo circonda.

Un elettore circondato da persone della stessa idea politica è più probabile che l’abbracci dando il proprio voto dello stesso colore politico dei suoi amici o familiari, piuttosto che compiere la scelta in maniera indipendente.

Costruiamo una simulazione in cui ciascun individuo è connesso all’interno di una rete di comunicazione con gli altri. La rete usata si chiama scale-free, ed è una buona schematizzazione delle relazioni umane, dove un limitato numero di persone ha molte connessioni con altri individui (vip, personaggi noti, politici, …) mentre la maggioranza possiede un numero ristretto di legami.

Ridefiniamo la probabilità che un individuo faccia la scelta corretta in questo modo:

  \displaystyle  p = \frac{1}{2} + \varepsilon + \left(\frac{1}{2} - \varepsilon\right)\frac{n^+ - n^-}{N_{joints}}

Dove n^+ e n^- rappresentano rispettivamente il numero di connessioni di quell’individuo con persone che hanno già scelto chi votare, N_{joint} il numero totale di connessioni di quell’individuo.

Lo straordinario risultato che avevamo ottenuto nel caso di elettori indipendenti è dovuto principalmente al fatto che mediare la votazione su un numero molto alto di elettori abbatte le fluttuazioni statistiche, permettendo a quel \varepsilon sopra al 50 % di essere determinante sull’esito della votazione (anche quando questo è solo dello 0.05 %).

Se confrontiamo le fluttuazioni statistiche nel caso di elettori indipendenti a quello di elettori dipendenti otteniamo una brutta sorpresa.

Nel grafico seguente è riportata la fluttuazione statistica (deviazione standard) del voto in funzione del numero di elettori in entrambi i casi:

Deviazione standard

Dalla figura si evince bene come nel caso di elettori indipendenti la deviazione standard decresce (come 1 / \sqrt{N}) all’aumentare del numero di elettori, migliorando l’esito della votazione.

Il caso di elettori reali  il risultato è disastroso, la deviazione standard non mostra alcuna diminuzione all’aumentare di N. Questo vuol dire chè le fluttuazioni statistiche sono molto più importanti in questo caso, rendendo molto più probabile, anche per alti valori di N, che la maggioranza degli elettori faccia la scelta sbagliata.

A questo fatto matematico può essere data una spiegazione qualitativa semplice: il primo  che compie la scelta influenzerà di conseguenza tutti gli elettori a cui e connesso, una scelta sbagliata all’inizio si ripercuote molto facilmente su tutti gli elettori che lo circondano, rendendo il risultato finale delle elezioni molto più incerto.

Tuttavia, poiché si ha quell’ \varepsilon di probabilità in più che gli elettori all’inizio riconoscano correttamente il migliore candidato, la decisione positiva si propaga con maggior facilità rispetto a quella negativa. Possiamo aspettarci che la percentuale di elettori media che compie la scelta giusta sia maggiore rispetto al caso di elettori indipendenti, come è mostrato nella seguente figura dove sono stati graficati i risultati della simulazione:

media2

Le grandi oscillazioni che mostra la linea blu sono dovute dalle grandi fluttuazioni statistiche che la simulazione con elettori reali mostra rispetto alla riga verde (meno frastagliata).

Si nota chiaramente che la linea blu (elettori connessi) ha un valore medio ben sopra il 55 % (valore usato nella simulazione) che è invece il valore attorno a cui oscilla il campione indipendente.

Come si compensano questi due effetti?
Il grafico seguente mostra la probabilità che la maggioranza degli elettori scelga bene.

ProbabilitaFinale

L’esito della votazione è quasi indipendente dal numero di elettori nella simulazione che tiene conto delle interazioni, mentre cresce vertiginosamente nel caso di elettori indipendenti.

Come si vede tra i 10 e i 20 elettori vi è la transizione di quale metodo è il migliore.

Questi modelli possono essere applicati anche alla formazione di collegi giudicanti quali giurie, commissioni d’esame o gruppi di lavoro.

In altri termini se abbiamo una piccola commissione (composta da meno di 10 elementi) il fatto che possano confrontarsi favorisce l’esito della scelta migliore. Viceversa se la commissione è grande (circa 20 persone) è molto più conveniente far emettere a ciascuna persona un giudizio singolo, senza dare possibilità di confronto, ed infine unire tutti i risultati.

Tutta questa analisi è stata condotta con un valore di \varepsilon del 5 %. Se questo valore aumenta il numero N di persone a cui avviene il sorpasso del metodo indipendente è ancora più basso, come dimostra il grafico seguente, simulato con \varepsilon del 15 % (La probabilità che ciascun elettore facesse la migliore scelta è del 50 + 15 = 65 %)

ProbabilitaFinale2

Per gruppi piccoli, 3 o 4 persone, la collaborazione è costruttiva, ma appena il numero dei componenti aumenta la collaborazione diventa infruttuosa.

È matematicamente vero che “chi fa da se, fa per tre”.

(Per chi volesse approfondire i conti matematici una versione più dettagliata può essere scaricata da questo link: Versione Completa )