Cosa hanno in comune un bambino che gioca sull’altalena, una molecola di ossigeno e un matto che fa Bungee Jumping?
Tutti e tre oscillano. La capacità di un sistema fisico di oscillare è una caratteristica molto comune. Ciascuno dei tre esempi risente di forze molto diverse tra loro.
L’altalena del bambino si muove grazie alla forza peso e alla reazione vincolare della catena a cui è sospesa, la molecola di ossigeno vibra a causa del legame coovalente che unisce i due atomi, e il matto che si butta da un ponte con il suo elastico da Bungee Jumping oscilla sotto l’azione combinata della forza di gravità e l’elastico a cui è appeso.
Quando le oscillazioni sono abbastanza piccole, una sola legge fisica accomuna tutti questi moti così diversi tra loro: l’oscillatore armonico. Qualche scienziato afferma addirittura che tutta la fisica si possa ricondurre all’oscillatore armonico.
Ma è davvero così?
Esaminiamo una forza di richiamo super elastica, di tipo:
Dalla seconda legge della dinamica possiamo ricavare un’equazione che descrive correttamente il moto di un punto materiale soggetto a questa forza:
Dove con abbiamo indicato la derivata seconda della posizione fatta rispetto al tempo due volte.
Questa equazione differenziale non ammette soluzione analitica. Questa forza è conservativa, e l’energia potenziale è:
Il profilo è mostrato in questa figura:
Se proviamo ad approssimare questo profilo con un potenziale armonico otteniamo una spiacevole sorpresa. Infatti il potenziale superarmonico non è approssimabile con nessun polininomio apparte se stesso. Questo è un esempio di sistema fisico oscillante che non è riconducibile ad un oscillatore armonico!
Non solo non siamo in grado di risolvere l’equazione differenziale che lo definisce, ma per questo potenziale è impossibile tentare un qualsiasi approccio di tipo perturbativo, poiché il più piccolo termine perturbativo non nullo è l’intera forza.
Ci dobbiamo arrendere di fronte a tali difficoltà? Siccome siamo fisici e non matematici, possiamo sfruttare le proprietà fisiche di questo sistema per capirci qualcosa.
Sappiamo che la soluzione di questo potenziale sarà un oscillatore, e vogliamo chiederci quale sia il suo periodo. In generale questo sarà funzione degli unici parametri che compaiono nell’equazione differenziale, e delle condizioni inziali, che qui riassumiamo nella variabile che rappresenta l’ampiezza di oscillazione:
Questa funzione la possiamo spezzare in due parti, una che determinerà la dimensione fisica del periodo (i secondi) e una adimensionale che dipenderà dal dettaglio matematico della soluzione:
Dall’equazione differenziale di partenza possiamo ottenere le dimensioni dei parametri:
Imponiamo che il periodo di oscillazione si misuri in secondi:
Da cui otteniamo il sistema per i coefficienti:
Che può essere risolto facilmente:
Da cui abbiamo trovato la dipendenza dimensionale per il periodo:
Perché il termine adimensionale sia realmente funzione di quei parametri occorre che ci sia un modo per combinarli in modo da ottenere un risultato adimensionale. Ripetiamo quindi questa prova:
Da cui otteniamo il sistema:
Questo sistema ammette solo la soluzione:
Abbiamo dimostrato che il termine non può dipendere da nessun parametro, è quindi una costante. Da sole considerazioni di tipo dimensionale abbiamo ricavato la formula del periodo dell’oscillatore superarmonico, senza sapere nulla sulla soluzione matematica!
Adesso il valore numerico di C può essere valutato risolvendo numericamente l’equazione differenziale con qualunque set di parametri iniziale e valutando il periodo numericamente.
Riportiamo in figura la soluzione numerica:
Da cui si ottiene una stima di pari a:
Dalla figura dell’integrale numerico si vede che rispetto al moto armonico i potenziali superarmonici tendono ad avere una traiettoria più spigolosa, che assomiglia ad un segnale triangolare. Questo perché la potenza superarmonica tende ad appiattire il potenziale (n pari):
Il potenziale assomiglia sempre più ad una buca infinita per n che cresce. All’interno della buca l’oggetto non è più soggetto a forze e tenderà a muoversi di moto rettilineo uniforme, e rimbalzando sulle pareti.
Possiamo calcolare facilmente il periodo per . Calcoliamo la velocità a cui si muove dentro la buca:
Calcoliamo il periodo usando la legge del moto rettilineo uniforme:
Per il caso che abbiamo trattato () la costante C approssimata ha un valore di 5.66, neanche troppo distante dal valore reale pari a 7.4. Questo è uno sviluppo corretto per grandi valori di n.
Ad esempio per n = 50 il valore di C stimato da questa relazione è 20.0, quello reale è 20.5. Riportiamo in figura il risultato dell’integrazione per n = 50:
Esiste un altro modo interessante per ottenere un espressione analitica di C nel caso n = 4.
Sfruttiamo la conservazione dell’energia meccanica:
Questa è un altra equazione differenziale. Se ricordiamo che mezzo periodo è il tempo che il nostro oscillatore impiega per spostarsi dalla posizione alla posizione possiamo integrare tutto quanto e ottenere:
Ora l’energia totale del sistema è pari all’energia potenziale superarmonica che l’oscillatore ha nel punto di massima ampiezza:
Per rendere adimensionale l’integrale e ricavare il parametro C dobbiamo effettuare il seguente cambiamento di variabili per l’integrale
Abbiamo trovato un’espressione analitica per il termine C costante adimensionale nell’espressione del periodo:
Questo termine può essere integrato numericamente:
In accordo con quanto ricavato risolvendo numericamente l’equazione differenziale.