Oscillatore superarmonico

DomandaCosa hanno in comune un bambino che gioca sull’altalena, una molecola di ossigeno e un matto che fa Bungee Jumping?

Tutti e tre oscillano. La capacità di un sistema fisico di oscillare è una caratteristica molto comune. Ciascuno dei tre esempi risente di forze molto diverse tra loro.
L’altalena del bambino si muove grazie alla forza peso e alla reazione vincolare della catena a cui è sospesa, la molecola di ossigeno vibra a causa del legame coovalente che unisce i due atomi, e il matto che si butta da un ponte con il suo elastico da Bungee Jumping oscilla sotto l’azione combinata della forza di gravità e l’elastico a cui è appeso.

Quando le oscillazioni sono abbastanza piccole, una sola legge fisica accomuna tutti questi moti così diversi tra loro: l’oscillatore armonico. Qualche scienziato afferma addirittura che tutta la fisica si possa ricondurre all’oscillatore armonico.

 

Ma è davvero così?

 

Esaminiamo una forza di richiamo super elastica, di tipo:
   \displaystyle F = -kx^3

Dalla seconda legge della dinamica possiamo ricavare un’equazione che descrive correttamente il moto di un punto materiale soggetto a questa forza:
   \displaystyle F = ma = -kx^3

   \displaystyle m\ddot x = -kx^3

Dove con \ddot x abbiamo indicato la derivata seconda della posizione fatta rispetto al tempo due volte.

Questa equazione differenziale non ammette soluzione analitica. Questa forza è conservativa, e l’energia potenziale è:
   \displaystyle V(x) = \frac{1}{4} k x^4

Il profilo è mostrato in questa figura:

PotenzialeSuperarmonico

 

Se proviamo ad approssimare questo profilo con un potenziale armonico otteniamo una spiacevole sorpresa. Infatti il potenziale superarmonico non è approssimabile con nessun polininomio apparte se stesso. Questo è un esempio di sistema fisico oscillante che non è riconducibile ad un oscillatore armonico!

Non solo non siamo in grado di risolvere l’equazione differenziale che lo definisce, ma per questo potenziale è impossibile tentare un qualsiasi approccio di tipo perturbativo, poiché il più piccolo termine perturbativo non nullo è l’intera forza.

Ci dobbiamo arrendere di fronte a tali difficoltà? Siccome siamo fisici e non matematici, possiamo sfruttare le proprietà fisiche di questo sistema per capirci qualcosa.

Sappiamo che la soluzione di questo potenziale sarà un oscillatore, e vogliamo chiederci quale sia il suo periodo. In generale questo sarà funzione degli unici parametri che compaiono nell’equazione differenziale, e delle condizioni inziali, che qui riassumiamo nella variabile x_0 che rappresenta l’ampiezza di oscillazione:
   \displaystyle T = f(m, k, x_0)

Questa funzione la possiamo spezzare in due parti, una che determinerà la dimensione fisica del periodo (i secondi) e una adimensionale che dipenderà dal dettaglio matematico della soluzione:
   \displaystyle T = m^\alpha k^\beta x_0^\gamma C(m, k, x_0)

Dall’equazione differenziale di partenza possiamo ottenere le dimensioni dei parametri:
   \displaystyle m = [Kg] \qquad k = [\frac{N}{m^3}] = [\frac{Kg}{m^2 s}] \qquad x_0 = [m]

Imponiamo che il periodo di oscillazione si misuri in secondi:

   \displaystyle [s] = [Kg]^\alpha [\frac{Kg}{m^2 s^2}]^\beta [m]^\gamma

Da cui otteniamo il sistema per i coefficienti:

   \displaystyle\left\{\begin{array}{l}   \alpha + \beta = 0 \\   -2\beta + \gamma = 0 \\   -2\beta = 1   \end{array}\right.

Che può essere risolto facilmente:

   \displaystyle \beta = -\frac{1}{2} \qquad \alpha = \frac{1}{2} \qquad \gamma = -1

Da cui abbiamo trovato la dipendenza dimensionale per il periodo:

   \displaystyle T = \frac{1}{x_0}\sqrt{\frac{m}{k}} C(m, k, x_0)

Perché il termine adimensionale sia realmente funzione di quei parametri occorre che ci sia un modo per combinarli in modo da ottenere un risultato adimensionale. Ripetiamo quindi questa prova:

   \displaystyle0 = [Kg]^\alpha [\frac{Kg}{m^2 s^2}]^\beta [m]^\gamma

Da cui otteniamo il sistema:

   \displaystyle\left\{\begin{array}{l}   \alpha + \beta = 0 \\   -2\beta + \gamma = 0 \\   -2\beta = 0   \end{array}\right.

Questo sistema ammette solo la soluzione:
   \displaystyle\alpha = 0 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 0

Abbiamo dimostrato che il termine C non può dipendere da nessun parametro, è quindi una costante. Da sole considerazioni di tipo dimensionale abbiamo ricavato la formula del periodo dell’oscillatore superarmonico, senza sapere nulla sulla soluzione matematica!

   \displaystyle T = C\frac{1}{x_0}\sqrt{\frac{m}{k}}

Adesso il valore numerico di può essere valutato risolvendo numericamente l’equazione differenziale con qualunque set di parametri iniziale e valutando il periodo numericamente.

Riportiamo in figura la soluzione numerica:

IntegrazioneNumericaDa cui si ottiene una stima di C pari a:

   \displaystyle C \approx 7.42

Dalla figura dell’integrale numerico si vede che rispetto al moto armonico i potenziali superarmonici tendono ad avere una traiettoria più spigolosa, che assomiglia ad un segnale triangolare. Questo perché la potenza superarmonica tende ad appiattire il potenziale (n pari):
   \displaystyle V = \frac{1}{n}kx^{n}\qquad \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}\qquad \left\{\begin{array}{lr} \infty & x < -x_0 \mbox{ o } x > x_0 \\ 0 & x \in [-x_0,x_0] \end{array}\right.

Il potenziale assomiglia sempre più ad una buca infinita per n che cresce. All’interno della buca l’oggetto non è più soggetto a forze e tenderà a muoversi di moto rettilineo uniforme, e rimbalzando sulle pareti.

Possiamo calcolare facilmente il periodo per n \rightarrow \infty. Calcoliamo la velocità a cui si muove dentro la buca:
   \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{n}kx_0^{n}

   \displaystyle v = \sqrt{\frac{2k x_0^n}{n m}}   \qquad   T= \frac{4x_0}{v}

Calcoliamo il periodo usando la legge del moto rettilineo uniforme:

   \displaystyle   T \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 4 \sqrt{\frac{nm}{2k}} x_0^{1 - \frac{n}{2}}

Per il caso che abbiamo trattato (n=4) la costante C approssimata ha un valore di 5.66, neanche troppo distante dal valore reale pari a 7.4. Questo è uno sviluppo corretto per grandi valori di n.

Ad esempio per n = 50 il valore di C stimato da questa relazione è 20.0, quello reale è 20.5. Riportiamo in figura il risultato dell’integrazione per n = 50:

PotenzialeTriangolare

 

Esiste un altro modo interessante per ottenere un espressione analitica di C nel caso n = 4.
Sfruttiamo la conservazione dell’energia meccanica:

   \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}kx^4 = E      \displaystyle v = \sqrt{\frac{2}{m}\left(E - \frac{1}{4}kx^4\right)}

Questa è un altra equazione differenziale. Se ricordiamo che mezzo periodo è il tempo che il nostro oscillatore impiega per spostarsi dalla posizione -x_0 alla posizione x_0 possiamo integrare tutto quanto e ottenere:

   \displaystyle\int_{x_0}^{-x_0} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E - \frac{1}{4}kx^4\right)}} = \int_0^{\frac{T}{2}}dt      \displaystyle \frac{T}{2} = \sqrt{\frac{m}{2}}\int_{-x_0}^{x_0} \frac{dx}{\sqrt{E - \frac{1}{4}kx^4}}

Ora l’energia totale E del sistema è pari all’energia potenziale superarmonica che l’oscillatore ha nel punto di massima ampiezza:

   \displaystyle E = \frac{1}{4}kx_0^4

 

   \displaystyle T = 2\sqrt{\frac{m}{2}}\frac{2}{x_0^2\sqrt{k}}\int_{-x_0}^{x_0} \frac{dx}{\sqrt{1 - \left(\frac{x}{x_0}\right)^4}}

Per rendere adimensionale l’integrale e ricavare il parametro dobbiamo effettuare il seguente cambiamento di variabili per l’integrale

   \displaystyle \xi = \frac{x}{x_0} \qquad dx = x_0d\xi

 

   \displaystyle T = \frac{1}{x_0}\sqrt{\frac{m}{k}}\sqrt{8} \int_{-1}^1 \frac{d\xi}{\sqrt{1 - \xi^4}}

 

Abbiamo trovato un’espressione analitica per il termine C costante adimensionale nell’espressione del periodo:

   \displaystyle T = \frac{1}{x_0}\sqrt{\frac{m}{k}} C

Questo termine può essere integrato numericamente:

   \displaystyle C = \sqrt{8} \int_{-1}^1 \frac{d\xi}{\sqrt{1 - \xi^4}} \approx 7.42

In accordo con quanto ricavato risolvendo numericamente l’equazione differenziale.